Question

证明：

n

k=1

1

k2

＜

5

3

，（n∈N^*）．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,综合法

分析：先证明n＞1时，n²＞n（n-1），可得

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，利用叠加法，可得结论．

解答： 证明：∵n＞1时，n²＞n²-n，
∴n²＞n（n-1），
∴取倒数可得

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴n＞1时，左边-1＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜

1

2

，
∴左边＜

3

2

＜

5

3

．
n=1时，1＜

5

3

．
综上

n

k=1

1

k2

＜

5

3

，（n∈N^*）．

点评：本题考查不等式的证明，考查放缩法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．