Question

交管部门遵循公交优先的原则，在某路段开设了一条仅供车身长为10m的公共汽车行驶的专用车道，据交管部门收集的大量数据分析发现，该车道上行驶着的前后两辆公共汽车间的安全距离d（m）与车速v（km/h）之间满足二次函数关系d=f（v），现已知车速为15km/h时，安全距离为8m；车速为45km/h时，安全距离为38m；出现堵车状况时，两车安全距离为2m．
（1）试确定d关于v的函数关系式d=f（v）；
（2）车速v（km/h）为多少时，单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多？最多是多少辆？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）设d=f（v）=av²+bv+c（a≠0），利用车速为15km/h时，安全距离为8m；车速为45km/h时，安全距离为38m；出现堵车状况时，两车安全距离为2m，建立方程组，即可确定d关于v的函数关系式d=f（v）；
（2）因为两车间距为d，则两辆车头间的距离为l0+d（m），单位时段内通过汽车的数量为Q最大，只需

v

10+d

最小，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：（1）设d=f（v）=av²+bv+c（a≠0），则
∵车速为15km/h时，安全距离为8m；车速为45km/h时，安全距离为38m；出现堵车状况时，两车安全距离为2m，
∴

8=225a+15b+c 38=2025a+45b+c 2=c

，
∴c=2，a=

1

75

，b=

1

5

，
∴d=f（v）=

1

75

v²+

1

5

v+2；
（2）因为两车间距为d，则两辆车头间的距离为l0+d（m）
单位时段内通过汽车的数量为Q最大，只需

v

10+d

最小，
由（1）知Q=

v

1 75 v2+ 1 5 v+12

=

1

v 75 + 12 v + 1 5

≤1，
当

v

75

=

12

v

等号成立，即v=30km/h，Q取到最大值
∴在交通繁忙时，应规定车速为30km/h，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多，最多是1000辆．

点评：本题考查二次函数的运用，考查基本不等式的运用，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．