Question

数列{a_n}的前n项和S_n=

3

2

n2-

1

2

n，数列{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设C_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）先利用公式法求数列{a_n}的通项公式，再求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）C_n=a_nb_n=（3n-2）•

1

3n-1

，利用错位相减法求和．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=

3

2

n2-

1

2

n，
∴n=1时，a₁=s₁=

3

2

-

1

2

=1，
n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（

3

2

n2-

1

2

n）-[

3

2

（n-1）²-

1

2

（n-1）]=3n-2，
∴上式对n=1时也成立，
∴a_n=3n-2．
∵a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁
∴q=

b2

b1

=

1

a2-a1

=

1

3

，
∴b_n=1×(

1

3

)n-1=

1

3n-1

（Ⅱ）C_n=a_nb_n=（3n-2）•

1

3n-1

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1•

1

30

+4•

1

31

+7•

1

32

+…+（3n-2）•

1

3n-1

，

1

3

T_n=1•

1

31

+4•

1

32

+…+（3n-5）•

1

3n-1

+（3n-2）•

1

3n

，
两式作差得

2

3

T_n=1•

1

30

+3（

1

31

+

1

32

+…+

1

3n-1

）-（3n-2）•

1

3n

=1+3×

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-（3n-2）•

1

3n

=

5

2

-

1

2×3n-2

-

3n-2

3n

，
∴T_n=

15

4

-

6n+5

12×3n-2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．