Question

已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=

4-|8x-12|，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，则（　　）

• A、函数f（x）的值域为[1，4]
• B、当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积为2
• C、关于x的方程f（x）-

  1

  2n

  =0（n∈N^*）有2n+4个不相等的实数根
• D、存在实数x₀，使得不等式x₀f（x₀）＞6成立

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，对选项中的每一个问题进行分析与思考，结合函数f（x）的解析式进行解答，即可得出正确的选项．

解答： 解：根据题意，得：
对于A，当1≤x≤2时，0≤|8x-12|≤4，∴0≤4-|8x-12|≤4，∴f（x）的值域为[0，4]，∴A选项错误；
对于B，令n=1，由题意知当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形是一个三角形，
其面积为S=

1

2

×1×4=2，∴B选项正确；
对于C，当n=1时，方程为f（x）=

1

2

，此时方程的根不是2+4=6个，∴C选项错误；
对于D，∵f（x）的值域为[0，4]，∴不等式x₀f（x₀）＞6不成立，∴D选项错误．
故选：B．

点评：本题考查了分段函数的应用问题，解题时应对选项中的每一个问题进行分析与思考，以便做出正确的判断，是易错题．