Question

5．已知数列{a_n}中，前6项构成首项为2公差为-2的等差数列，第7项至第12项构成的首项和公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列，又对任意的n∈N^*，都有a_n+12=a_n成立，数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₇+2a₁₂等于（　　）

• A． -36
• B． -34
• C． -36-$\frac{1}{{2}^{5}}$
• D． -34-$\frac{1}{{2}^{5}}$

Answer 1

分析 由数列{a_n}对任意的n∈N^*，都有a_n+12=a_n成立，可得S₂₇=2S₁₂+a₁+a₂+a₃=2[（a₁+a₂+…+a₆）+（a₇+a₈+…+a₁₂）]+2+0-2，再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}对任意的n∈N^*，都有a_n+12=a_n成立，
∴S₂₇=2S₁₂+a₁+a₂+a₃=2[（a₁+a₂+…+a₆）+（a₇+a₈+…+a₁₂）]+2+0-2
=2$[2×6-2×\frac{6×5}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）}{1-\frac{1}{2}}]$=-34-$\frac{1}{{2}^{6}}$．
2a₁₂=2×$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{{2}^{6}}$．
∴S₂₇+2a₁₂=-34．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．