Question

15．函数f（x）对于x＞0有意义，且满足条件f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）是减函数．
（1）证明：f（1）=0
（2）若f（x）+f（x-3）≥2成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令xy=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），故f（1）=0；
（2）f（x）+f（x-3）≥2，可得f[x（x-4）]≥f（4），结合f（x）对于x＞0有意义，f（x）是减函数，即可求x的取值范围．

解答 （1）证明：令xy=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），故f（1）=0…（4分）
（2）解：∵f（2）=1，令x=y=2，则f（2×2）=f（2）+f（2）=2，∴f（4）=2，
∵f（x）+f（x-3）≥2，
∴f[x（x-4）]≥f（4），
∵f（x）对于x＞0有意义，f（x）是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{x（x-3）≤4}\end{array}\right.$，∴3＜x≤4…（12分）

点评 本题考查函数的单调性，考查学生解不等式的能力，正确转化是关键．