Question

20．已知圆$M：{（{x+\sqrt{5}}）^2}+{y^2}$=4，圆$N：{（{x-\sqrt{5}}）^2}+{y^2}$=4，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则动圆圆心P的轨迹方程是$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1，（{x≥2}）$．

Answer 1

分析 由两圆的方程分别找出圆心M与N的坐标，及两圆的半径r₁与r₂，设圆P的半径为r，根据圆P与M外切，与B内切，得到PM=r+2，PN=r-2，即可可得出轨迹方程．

解答 解：由圆$M：{（{x+\sqrt{5}}）^2}+{y^2}$=4，圆$N：{（{x-\sqrt{5}}）^2}+{y^2}$=4，
得到M（-$\sqrt{5}$，0），半径r₁=2，N（$\sqrt{5}$，0），半径r₂=2，
设圆P的半径为r，
∵与圆M外切而内切于圆N，
∴PM=r+2，PN=r-2，
∴PM-PN=4，又MN=2c=2$\sqrt{5}$，
∴P的轨迹是双曲线的右支，a=2，c=$\sqrt{5}$，
∴b=1，
∴圆心P的轨迹方程$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1，（{x≥2}）$．
故答案为$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1，（{x≥2}）$．

点评 此题考查了圆与圆的位置关系，双曲线的基本性质，以及动点的轨迹方程，两圆的位置关系由圆心角d与两圆半径R，r的关系来判断，当d＜R-r时，两圆内含；当d=R-r时，两圆内切；当R-r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．