Question

5．已知e为自然对数的底数，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x-4，x≤0}\\{{e}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$，则方程f（x）=ax恰有两个不同的实数解时，实数a的取值范围是（　　）

• A． （e，4]
• B． （4，+∞）
• C． （e，+∞）
• D． （$\frac{1}{e}$，4）

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用数形结合结合导数求出函数的切线斜率，即可得到结论．

解答 解作出函数f（x）的图象如图，
设y=kx与f（x）=e^x，在x＞0相切时，设切点为P（m，n），
则函数的导数f′（x）=e^x，
则在P（m，n）处的切线斜率k=f′（m）=e^m，
则切线方程为y-n=e^m（x-m），
即y=e^mx+e^m-me^m，
当x=0，y=0时，e^m-me^m=0，
即1-m=0，m=1，此时切线斜率k=f′（m）=e，
∵e＜4，
∴当a=e时，直线y=ex与f（x）只有一个交点，
当a＞e时，在x＞0上，f（x）与y=ax有两个交点，
当a=4时，y=ax与y=4x-4，平时，此时f（x）与y=ax有两个交点，
当a＞4时，此时f（x）与y=ax有3个交点，
综上若f（x）=ax恰有两个不同的实数解时，
则e＜a≤4，
故选：A

点评 本题主要考查函数与方程的应用，作出函数f（x），利用数形结合是解决本题的关键．