Question

11．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）若对任意的x∈R，不等式f（x²-x）+f（2x²-t）＜0恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质：f（0）=0，f（-x）=f（x），可求a，b值；
（2）首先得出函数的单调性，利用单调性和奇偶性整理不等式可得f（x²-x）＜-f（2x²-t）=f（-2x²+t），代入得x²-x＞-2x²+t，利用二次函数性质求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数且0∈R，∴f（0）=0即$\frac{b-1}{a+2}$=0，
∴b=1，…（2分）
∴$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{a+{2^{x+1}}}}$
又由f（1）=-f（-1）知$\frac{1-2}{a+4}$=-$\frac{1-\frac{1}{2}}{a+1}$，
∴a=2…（4分）
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$．
（2）证明设x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂
∴$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{1-{2^{x_1}}}}{{2+{2^{{x_1}+1}}}}-\frac{{1-{2^{x_2}}}}{{2+{2^{{x_2}+1}}}}=\frac{1}{2}（\frac{{1-{2^{x_1}}}}{{1+{2^{x_1}}}}-\frac{{1-{2^{x_2}}}}{{1+{2^{x_2}}}}）$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{2（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）}}{{（1+{2^{x_1}}）（1+2{x^{x_2}}）}}=\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（1+{2^{x_1}}）（1+{2^{x_2}}）}}$
∵y=2^x在（-∞，+∞）上为增函数且x₁＜x₂，
∴${2^{x_2}}＞{2^{x_1}}$
且y=2^x＞0恒成立，∴$1+{2^{x_1}}＞0，1+{2^{x_2}}＞0$
∴f（x₁）-f（x₂）＞0    即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数…（8分）
∵f（x）是奇函数f（x²-x）+f（2x²-t）＜0等价于f（x²-x）＜-f（2x²-t）=f（-2x²+t）…（10分）
又∵f（x）是减函数，∴x²-x＞-2x²+t
即一切x∈R，3x²-x-t＞0恒成立  …（12分）
∴△=1+12t＜0，即t＜$-\frac{1}{12}$…（14分）

点评 考查了奇函数的性质和利用单调性，奇偶性解决实际问题．