Question

2．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，以下说法：
①在△ABC中，“a，b，c成等差数列”是“acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b”的充要条件；
②命题“在锐角三角形ABC中，sinA＞cosB”的逆命题和逆否命题均为真命题；
③命题“对任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”为假命题．
正确的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①根据等差数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
②根据四种命题之间的关系进行判断即可．
③根据正弦定理进行判断即可．

解答 解：①若acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b，
即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，
由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，
即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
可得sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理可得，整理得：a+c=2b，故a，b，c为等差数列；反之也成立，
即，“a，b，c成等差数列”是“acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b”的充要条件；故①正确，
②在锐角三角形ABC中，则A+B＞$\frac{π}{2}$，于是$\frac{π}{2}$＞A＞$\frac{π}{2}$-B＞0，
则sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B）=cosB，即sinA＞cosB成立，则原命题为真命题．则逆否命题也为真命题，
命题“在锐角三角形ABC中，sinA＞cosB”的逆命题为：若sinA＞cosB，则三角形为锐角三角形，
在三角形中，当B为钝角时，cosB＜0，此时满足sinA＞cosB，则命题的逆否命题为假命题．，故②错误，
③在三角形中，由正弦定理得若“对任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”则等价为对任意三角形ABC，a+b＞c成立，
即命题“对任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”为真命题，故③错误，
故正确的个数是1，
故选：B

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及命题真假的判断，考查学生的运算和推理能力．