Question

13．已知f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（1）若函数g（x）=（2^x+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围；
（2）对任意x₁∈（0，1），总存在x₂∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，使不等式f（x₁）-m•2${\;}^{{x}_{1}}$＞g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得g（x）=0，即为1-k=2^x，由指数函数的值域，即可得到所求范围；
（2）当x₂∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，运用正弦函数的图象和性质可得g（x₂）的最小值为g（-$\frac{π}{6}$）=-2，由题意可得f（x₁）-m•2${\;}^{{x}_{1}}$＞-2，即m＜$\frac{3•{2}^{x}+1}{{2}^{x}（{2}^{x}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在（0，1）恒成立，运用指数函数的单调性，可得右边函数的值域，再由恒成立思想即可得到所求范围．

解答 解：（1）g（x）=（2^x+1）•f（x）+k=2^x-1+k，
由题意可得g（x）=0，即为1-k=2^x，由2^x＞0，
可得k＜1；
（2）当x₂∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
则g（x₂）的最小值为g（-$\frac{π}{6}$）=-2，
即有不等式f（x₁）-m•2${\;}^{{x}_{1}}$＞g（x₂）成立，
即为f（x₁）-m•2${\;}^{{x}_{1}}$＞-2，
即m＜$\frac{3•{2}^{x}+1}{{2}^{x}（{2}^{x}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在（0，1）恒成立，
由h（x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在（0，1）递减，可得h（x）的值域为（$\frac{7}{6}$，2），
可得m≤$\frac{7}{6}$．

点评 本题考查函数的零点问题的解法，注意运用指数函数的值域，同时考查不等式恒成立和存在性问题的解法，注意转化为求函数的最值，运用单调性和三角函数的图象和性质，是解题的关键．