Question

14．已知抛物线方程为y²=-2px，其准线方程为x=$\frac{1}{4}$，直线l：y=k（x+1）与抛物线相交于A，B两个不同的点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求证：OA⊥OB；
（Ⅱ）当△OAB的面积等于$\sqrt{5}$时，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线的方程，联立直线与抛物线方程，证明x₁x₂+y₁y₂=0，即可证明OA⊥OB；
（Ⅱ）连接AB，设直线AB与x轴交于N，由题意，△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$|ON||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}•1•\sqrt{（-\frac{1}{k}）^{2}+4}$=$\sqrt{5}$，即可求k的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵抛物线方程为y²=-2px，其准线方程为x=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{4}$，解得p=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线方程为y²=-x．
联立直线l：y=k（x+1），消去x得，ky²+y-k=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
得y₁+y₂=-$\frac{1}{k}$，y₁y₂=-1．
∴x₁x₂=（y₁y₂）²=1
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB；
（Ⅱ）连接AB，设直线AB与x轴交于N，由题意，k≠0
令y=0则x=-1，即N（-1，0），
∴△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$|ON||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}•1•\sqrt{（-\frac{1}{k}）^{2}+4}$=$\sqrt{5}$，
∴k=-±$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查抛物线解析式的求法，考查两线段垂直的证明，考查三角形面积的计算，是中档题，解题时要注意椭圆弦长公式的合理运用．