Question

【题目】已知中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 的椭圆过点 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆与 轴的非负半轴交于点 ，过点 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点 ， 两点，连接 ，求 的面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为 ，则 ，故 ，
所以，椭圆方程为 ．
（Ⅱ）由题意可知，直线 的斜率存在且不为o．
故可设直线 的方程为 ，由对称性，不妨设 ，
由 ，消去 得 ，
则 ，将式子中的 换成 ，得： ．


，
设 ，则 ．
故 ，取等条件为 即 ，
即 ，解得 时， 取得最大值
【解析】(1)根据题意结合已知条件利用椭圆的基本性质即可求出a、b的值。(2)根据题意首先判断出直线的斜率是存在的进而可设出直线的方程，然后联立直线与椭圆的方程消元求出弦长的代数式，整理化简借助基本不等式求出最大值。