Question

【题目】如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 和一个正四棱锥 组合而成， ， ．

（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求正四棱锥 的高 ，使得二面角 的余弦值是 ．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）正三棱柱 中， 平面 ，
所以 ，又 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面 ，以 为原点， ， ， 方向为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，设正四棱锥 的高为 ， ，则 ， ， ， ， ， ， ．
设平面 的一个法向量 ，
则 取 ，则 ，所以 ．
设平面 的一个法向量 ，则
取 ，则 ， ，所以 ．
二面角 的余弦值是 ，
所以 ，
解得 ．
【解析】（1）证明：AD⊥面ABFE，即可证明面PAD⊥面ABFE，（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P-ABCD的高.