Question

【题目】如图，在 中， ， . 分别是边 上的点，且 .现将 沿直线 折起，形成四棱锥 ，则此四棱锥的体积的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】作 于点 ，交 于点 ，由勾股定理有： ，
由相似三角形的性质有： ， ，
设 ，则 ，
四棱锥体积最大时，必须满足平面 平面 ，
四棱锥的底面积： ，
四棱锥的高 ，据此可得体积函数：
，
则 ，令 可得： ，
结合函数的定义域可得：
函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
则此四棱锥的体积的最大值是 .

首先根据折叠的性质得到折叠后的边的值，设 E F = x ( 0 < x < 6 ) ，则 P E = 6 x，由题意可知四棱锥体积最大时，必须满足平面 P C D ⊥ 平面 A B C D ，进而得到面积关于x的二次函数的代数式从而求出体积的表达式，对其求导可得出原函数在区间 ( 0 , 6 2 3 ) 上单调递增，在区间 ( 6 2 3 , 6 ) 上单调递减，从而求出体积的最大值。