Question

某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答．
（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；
（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件A，由此利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式该考生8道题全答对的概率．
（Ⅱ）该考生所得分数为X，则X的所有可能取值为20，25，30，35，40，分别求出相应的概率，由此能求出该考生所得分数的分布列．

解答： （本小题共13分）
（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件A，依题意有
P（A）=

1

2

×

1

2

×

1

4

×

1

4

=

1

64

．…（3分）
（Ⅱ）该考生所得分数为X，则X的所有可能取值为20，25，30，35，40．…（4分）
P（X=20）=

1

2

×

1

2

×

3

4

×

3

4

=

9

64

，…（6分）
P（X=25）=

C

1 2

(

1

2

)×(1-

1

2

)×(

3

4

)2+(

1

2

)×

C

1 2

(

1

2

)2×(1-

3

4

)×(

3

4

)=

3

8

，…（8分）
P（X=30）=（

1

2

）²×（

3

4

）²+C

1 2

（

1

2

）（1-

1

2

）×

C

1 2

 ×(

3

4

)×(

1

4

)+(

1

2

)2×(

1

4

)2=

11

32

…（10分）
p（X=35）=C

1 2

（

1

2

）×（1-

1

2

）×（

1

4

）²+

C

1 2

(

1

2

)2×(1-

3

4

)×(

3

4

)=

1

8

，…（12分）
P（X=40）=

1

64

，
X分布列为：

X	20	25	30	35	40
P	9 64	3 8	11 32	1 8	1 64

…（13分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题．