题目内容

5．2016年高一新生入学后，为了了解新生学业水平，某区对新生进行了水平测试，随机抽取了50名新生的成绩，其相关数据统计如下：
分数段频数选择题得分24分以上（含24分）
[40，50）52
[50，60）104
[60，70）1512
[70，80）106
[80，90）54
[90，100）55
（Ⅰ）若从分数在[70，80），[80，90）的被调查的新生中各随机选取2人进行追踪调查，求恰好有2名新生选择题得分不足24分的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，记选中的4名新生中选择题得分不足24分的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

分析 （Ⅰ）由表知分数在[70，80）内的有10人，选择题得分不足24分的有4人，分数在[80，90）内的有5人，选择题得分不足24分的有1人，然后求解互斥事件的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到X的分布列然后求解期望与方差．

解答 （10分）解：（Ⅰ）由表知分数在[70，80）内的有10人，选择题得分不足24分的有4人，
分数在[80，90）内的有5人，选择题得分不足24分的有1人，
所以恰好有2名学生选择题得分不足24分的概率事件由两个互斥事件构成，
即所求概率为$P（{X=2}）=\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^1C_1^1}{C_5^2}$$+\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^2}{C_5^2}$=$\frac{24}{45}×\frac{4}{10}+\frac{6}{45}$×$\frac{6}{10}=\frac{22}{75}$．
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3．
$P（{X=0}）=\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^2}{C_5^2}$=$\frac{15}{45}×\frac{6}{10}=\frac{1}{5}$；
$P（{X=1}）=\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^1}{C_5^2}+$$\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^2}{C_5^2}=\frac{15}{45}×\frac{4}{10}$$+\frac{24}{45}×\frac{6}{10}=\frac{34}{75}$；
$P（{X=2}）=\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^1C_1^1}{C_5^2}$$+\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^2}{C_5^2}$=$\frac{24}{45}×\frac{4}{10}+\frac{6}{45}$×$\frac{6}{10}=\frac{22}{75}$．
$P（{X=3}）=\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^1}{C_5^2}$=$\frac{6}{45}×\frac{4}{10}=\frac{4}{75}$．
所以X的分布列是

X0123
P$\frac{1}{5}$$\frac{34}{75}$$\frac{22}{75}$$\frac{4}{75}$
所以X的数学期望$E（X）=0×\frac{1}{5}+1×\frac{34}{75}$$+2×\frac{22}{75}+3×\frac{4}{75}=\frac{6}{5}$．

点评 本题考查离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量的分布列，考查分析问题解决问题的能力．

练习册系列答案
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A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．重合
16．已知f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$其中$\overrightarrow{m}$=（sinx，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$cos2x），将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．
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20．下列选项中，说法正确的是（　　）
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B．命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞$\frac{1}{2}$”的逆否命题为真命题
C．若非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a}|-|{\overrightarrow b}|$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线
D．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的充分必要条件
10．已知f（x）=Acos（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示，为得到的g（x）=Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（　　）
A．向左平移$\frac{π}{6}$B．向左平移$\frac{π}{12}$C．向右平移$\frac{π}{6}$D．向右平移$\frac{π}{12}$
17．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3-ax2+3x+4在（-∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
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A．$（{-\frac{1}{3}ln6，ln2}]$B．$（{-ln2，-\frac{1}{3}ln6}）$C．$（{-ln2，-\frac{1}{3}ln6}]$D．$（{-\frac{1}{3}ln6，ln2}）$
9．充满气的车轮内胎可由下面哪个平面图形绕轴旋转而成（　　）
A．B．C．D．

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