Question

8．已知偶函数f（x）满足f（4+x）=f（4-x），且当x∈（0，4]时，f（x）=$\frac{{ln（{2x}）}}{x}$，关于x的不等式f²（x）+af（x）＞0在[-200，200]上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{-\frac{1}{3}ln6，ln2}]$
• B． $（{-ln2，-\frac{1}{3}ln6}）$
• C． $（{-ln2，-\frac{1}{3}ln6}]$
• D． $（{-\frac{1}{3}ln6，ln2}）$

Answer 1

分析 判断f（x）在（0，8）上的单调性，根据对称性得出不等式在一个周期（0，8）内有4个整数解，再根据对称性得出不等式在（0，4）上有2个整数解，从而得出a的范围．

解答 解：当0＜x≤4时，f′（x）=$\frac{1-ln2x}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0得x=$\frac{e}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{e}{2}$）上单调递增，在（$\frac{e}{2}$，4）上单调递减，
∵f（x）是偶函数，
∴f（x+4）=f（4-x）=f（x-4），
∴f（x）的周期为8，
作出f（x）一个周期内的函数图象如图所示：

∵f（x）是偶函数，且不等式f²（x）+af（x）＞0在[-200，200]上有且只有200个整数解，
∴不等式在（0，200）内有100个整数解，
∵f（x）在（0，200）内有25个周期，
∴f（x）在一个周期（0，8）内有4个整数解，
（1）若a＞0，由f²（x）+af（x）＞0，可得f（x）＞0或f（x）＜-a，
显然f（x）＞0在一个周期（0，8）内有7个整数解，不符合题意；
（2）若a＜0，由f²（x）+af（x）＞0，可得f（x）＜0或f（x）＞-a，
显然f（x）＜0在区间（0，8）上无解，
∴f（x）＞-a在（0，8）上有4个整数解，
∵f（x）在（0，8）上关于直线x=4对称，
∴f（x）在（0，4）上有2个整数解，
∵f（1）=ln2，f（2）=$\frac{ln4}{2}$=ln2，f（3）=$\frac{ln6}{3}$，
∴f（x）＞-a在（0，4）上的整数解为x=1，x=2．
∴$\frac{ln6}{3}$≤-a＜ln2，
解得-ln2＜a≤-$\frac{ln6}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了不等式与函数单调性，函数图象的关系，属于中档题．