Question

16．设函数f（x）=$\frac{1}{{{{（|x-1|-a）}^2}}}$的定义域为D，其中a＜1．
（1）当a=-3时，写出函数f（x）的单调区间（不要求证明）；
（2）若对于任意的x∈[0，2]∩D，均有f（x）≥kx²成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-3时，根据函数解析式写出函数f（x）的单调区间；
（2）x=0时，不等式f（x）≥kx²成立；x≠0时，f（x）≥kx²成立，等价于k≤$\frac{1}{[x（|x-1|-a）]^{2}}$．设h（x）=x（|x-1|-a）=$\left\{\begin{array}{l}{-x[x-（1-a）]，0＜x≤1}\\{x[x-（1+a）]，1＜x≤2}\end{array}\right.$，对a讨论，确定函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：（1）单调递增区间（-∞，1]，单调递减区间是[1，+∞）．
（2）x=0时，不等式f（x）≥kx²成立，
x≠0时，f（x）≥kx²成立，等价于k≤$\frac{1}{[x（|x-1|-a）]^{2}}$．
设h（x）=x（|x-1|-a）=$\left\{\begin{array}{l}{-x[x-（1-a）]，0＜x≤1}\\{x[x-（1+a）]，1＜x≤2}\end{array}\right.$．
①a≤-1时，h（x）在（0，2]上单调递增，∴0＜h（x）≤h（2），即0＜h（x）≤2（1-a），
∴k≤$\frac{1}{4（1-a）^{2}}$，
②当-1＜a＜0时，h（x）在（0，$\frac{1-a}{2}$]上单调递增，在[$\frac{1-a}{2}$，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．
∵h（2）=2-2a＞$\frac{（1-a）^{2}}{4}$=h（$\frac{1-a}{2}$），
∴0＜h（x）≤h（2）
∴0＜h（x）≤2（1-a），
∴k≤$\frac{1}{4（1-a）^{2}}$；
③当0≤a＜1时，h（x）在（0，$\frac{1-a}{2}$]上单调递增，在[$\frac{1-a}{2}$，1-a）上单调递减，在（1-a，1）上单调递减，在[1，1+a）上单调递增，在（1+a，2]上单调递增，
∴h（1）≤h（x）≤max{h（2），h（$\frac{1-a}{2}$}且h（x）≠0，
∵h（2）=2-2a＞$\frac{（1-a）^{2}}{4}$=h（$\frac{1-a}{2}$），
∴-a≤h（x）≤2-2a，且h（x）≠0．
当0≤a＜$\frac{2}{3}$时，∵|2-2a|＞|-a|，∴k≤$\frac{1}{4（1-a）^{2}}$；
当$\frac{2}{3}$≤a＜1时，∵|2-2a|≤|-a|，∴k≤$\frac{1}{{a}^{2}}$．
综上所述，当a＜$\frac{2}{3}$时，k≤$\frac{1}{4（1-a）^{2}}$；当$\frac{2}{3}$≤a＜1时，k≤$\frac{1}{{a}^{2}}$．

点评 本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．