Question

14．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=\sqrt{3}t+1\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12．
（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知与直线l平行的直线l'过点M（1，0），且与曲线C交于A，B两点，试求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出直线l的直角坐标方程，由此能求出直线l的极坐标方程；由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）由直线l'与直线l平行，M（1，0）在直线l'上，能求出直线l'的参数方程，将它代入曲线C的方程得$5{t^2}+4t-12=0，{t_1}+{t_2}=-\frac{4}{5}，{t_1}{t_2}=-\frac{12}{5}$，由此能求出|AB|．

解答 解：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为$y=\sqrt{3}（{x-1}）+1$，
所以直线l的极坐标方程为$ρsinθ=\sqrt{3}ρcosθ-\sqrt{3}+1$
又因为曲线C的极坐标方程为3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
所以曲线C的直角坐标方程为3x²+4y²=12，化简得$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）因为直线l'与直线l平行，
又M（1，0）在直线l'上，∴直线l'的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，（t为参数），
将它代入曲线C的方程中得$5{t^2}+4t-12=0，{t_1}+{t_2}=-\frac{4}{5}，{t_1}{t_2}=-\frac{12}{5}$，
所以$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$．

点评 本题考查直线的极坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，是中档题．