Question

6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，$asinC-\sqrt{3}ccosA=0$．
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求b，c．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理，以及同角的商数关系，结合特殊角的三角函数值，即可得到A；
（2）由余弦定理和面积公式，联立方程，即可解得b，c．

解答 解：（1）sinAsinC-$\sqrt{3}$sinCcosA=0，
∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，
∴sinA-$\sqrt{3}$cosA=0，整理得：tanA=$\sqrt{3}$，则A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a=2，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosA=$\frac{1}{2}$，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，即bc①；
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-12，
整理得：b+c②，联立①②解得：b=c=2．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理、及面积公式的运用，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．