Question

设函数
(Ⅰ) 当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.
（Ⅲ）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ) 无极大值.
（Ⅱ）当时，在上是减函数；
当时，在和单调递减，在上单调递增；
当时，在和单调递减，在上单调递增；
（Ⅲ） 

试题分析：(Ⅰ)函数的定义域为.  
当时，2分
当时，当时， 无极大值. 4分
（Ⅱ） 
5分
当，即时， 在定义域上是减函数；
当，即时，令得或
令得当，即时，令得或
令得      综上，当时，在上是减函数；
当时，在和单调递减，在上单调递增；
当时，在和单调递减，在上单调递增；8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单减，是最大值， 是最小值.
  10分

而经整理得，由得，所以12分
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及不等式恒成立问题，转化成了研究函数的最值之间的差，从而利用“分离参数法”又转化成函数的最值问题。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。