Question

已知函数f(x)=lnx，g(x)=k·.
(I)求函数F(x)= f(x)- g(x)的单调区间；
(Ⅱ)当x>1时，函数f(x)> g(x)恒成立，求实数k的取值范围；
(Ⅲ)设正实数a₁，a₂，a₃，，a_n满足a₁+a₂+a₃++a_n=1，
求证：ln(1+)+ln(1+)++ln(1+)>．

Answer 1

（1）当时，只有单调递增区间
当时，单调递增区间为，
单调递减区间为  
（2）
（3）由（2）知，在恒成立，那么构造函数借助于单调性来得到求证。

试题分析：解：（Ⅰ）   --- 1分
由的判别式
①当即时，恒成立，则在单调递增    2分
②当时，在恒成立，则在单调递增      3分
③当时，方程的两正根为
则在单调递增，单调递减，单调递增
综上，当时，只有单调递增区间
当时，单调递增区间为，
单调递减区间为   5分
（Ⅱ）即时，恒成立
当时，在单调递增 ∴当时，满足条件  7分
当时，在单调递减
则在单调递减
此时不满足条件
故实数的取值范围为                                         9分
（Ⅲ）由（2）知，在恒成立
令 则         10分
∴                   11分
又
∴                          13分
∴              
点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，解决的关键是利用导数的符号判定函数的单调性，进而得到不等式的证明，属于中档题。