Question

已知函数.
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数上是减函数，求实数的最小值；
（III）若，使成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（I） （II） （III）

试题分析：由已知函数的定义域均为,且.
（Ⅰ）函数,
当时,.所以函数的单调增区间是.       3分
（Ⅱ）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．
所以当时，．
又，
故当，即时，，所以，故
所以的最小值为.
（Ⅲ）“若，使成立”等价于
“当时，有”，
有（Ⅱ），当时，有，，
问题等价于：“当时，有”
当时，由（Ⅱ），在上为减函数.
则，故.
当时，由于在上为增函数，
故的值域为，即．
由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
所以，=，．
所以，，与矛盾，不合题意．
综上，.
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．