Question

1．已知函数f（x）=1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）证明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（3）若 f（2a+1）+f（4a-3）＞0，求实数a的取值范围．（提示：可以直接利用前两小题的结论）

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，计算f（-x）+f（x）=0，（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的单调性和奇偶性得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是R，
f（-x）=1-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=1-$\frac{{2}^{x+1}}{{2}^{x}+1}$，
而f（-x）+f（x）=2-2=0，f（-x）=-f（x），
故f（x）在R是奇函数；
（2）设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$
=2（$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）
=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（3）由（1）（2）得：-f（4a-3）=f（3-4a），
f（2a+1）+f（4a-3）＞0，
即f（2a+1）＞-f（4a-3）=f（3-4a），
∴2a+1＞3-4a，解得：a＞$\frac{2}{7}$．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查转化思想，是一道中档题．