Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=4，前n项和为S_n，S_n+1-3S_n-2n-4=0
（Ⅰ）求证：{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=15（a_n+1）+n（n∈N^*），求数列{b_n}前n项的和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S_n+1-3S_n-2n-4=0，得S_n-3S_n-1-2n-2=0，两式相减，得a_n+1=3a_n+2，由此证明{a_n+1}是以5为首项，3为公比的等比数列由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n=75•3^n-1+n，利用分组求和法能求出数列{b_n}前n项的和T_n．

解答： （Ⅰ）证明：n≥2时，由S_n+1-3S_n-2n-4=0，得S_n-3S_n-1-2n-2=0，
两式相减，得a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1）（n≥2）成立，…3 分
又已知a₁=4，a₂=14，∴a₂+1=3（a₁+1）…（4分）
∴{a_n+1}是以5为首项，3为公比的等比数列．…（5分）
∴an=5×3n-1-1(n∈N*)．…（6分）
（Ⅱ）解：∵b_n=15（a_n+1）+n（n∈N^*），
∴b_n=75•3^n-1+n，…（7分）
则Tn=75(30+3+…+3n-1)+(1+2+3+…+n）…（8分）
=

75

2

(3n-1)+

n(n+1)

2

．…（12分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．