题目内容

已知O为△ABC的外心，AB=2m，AC=
2
m
，∠BAC=120°，若
AO
=α
AB
+β
AC
，则α+β的最小值是（　　）
A、2
B、4
C、5
D、2
7
考点：向量加减混合运算及其几何意义
专题：平面向量及应用
分析：由数量积的定义可得
AB
•
AC
=-2，由
AO
•
AB
=α
AB
2+β
AB
•
AC
AO
•
AC
=α
AB
•
AC
+β
AC
2
可求出α，β，相加由基本不等式可得．
解答： 解：AB=2m，AC=
2
m
，∠BAC=120°，
∴
AB
•
AC
=2m•
2
m
•cos120°=-2，
∵
AO
=α
AB
+β
AC
，
∴
AO
•
AB
=α
AB
2+β
AB
•
AC
AO
•
AC
=α
AB
•
AC
+β
AC
2
，
∴
2m•m=α•4m2-2β
2
m
•
1
m
=-2α+
4
m2
•β
，
∴α=
2
3
+
1
3m2
，β=
2
3
+
m2
3
，
∴α+β=
4
3
+
1
3m2
+
m2
3
≥
4
3
+2
1
3m2
•
m2
3
=2
当且仅当
1
3m2
=
m2
3
，即m=1时取等号，
∴α+β的最小值为：2
故选：A
点评：本题考查向量的加减混合运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
∫
2
1
1
x
dx的值为（　　）
A、1B、2C、ln2D、-ln2
以椭圆C：
x2
8
+
y2
5
=1的焦点为顶点，以椭圆C的顶点为焦点的双曲线的方程是（　　）
A、
x2
8
-
y2
5
=1
B、
y2
5
-
x2
8
=1
C、
x2
3
-
y2
5
=1
D、
y2
5
-
x2
3
=1
抛物线y2=4x的焦点为F，M为抛物线上的动点，又已知点N（-1，0），则
|MN|
|MF|
的取值范围是（　　）
A、[1，2
2
]
B、[
2
，
3
]
C、[
2
，2]
D、[1，
2
]
用反证法证明命题“自然数a，b，c中三个均为偶数”的反设（　　）
A、全是奇数
B、恰有一个偶数
C、至少有一个偶数
D、至多有两个偶数
已知函数f（x）=-3x2+6x，直线l1：x=t，l2：x=t+1（其中0≤t≤2，t为常数），若直线l1，l2，x轴与曲线y=f（x）所围成的封闭图形的面积为S（t）．
（1）求S（t）的表达式；
（2）当t变化时，求S（t）的最大值．
已知：圆C过点A（6，0），B（1，5）且圆心在直线l：2x-7y+8=0上，求圆C的方程．
已知数列{an}的首项为a1=4，前n项和为Sn，Sn+1-3Sn-2n-4=0
（Ⅰ）求证：{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=15（an+1）+n（n∈N*），求数列{bn}前n项的和Tn．
已知a，b是实数，函数f（x）=3x2+a，g（x）=2x+b，若f（x）•g（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上为“Ω函数”．
（Ⅰ）设a＞0，若f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上为“Ω函数”，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）设a＜0且a≠b，若f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上为“Ω函数”，求|a-b|的最大值．

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