Question

给出以下四个命题：
①设p：a²+a≠0，q：a≠0，则p是q的充分不必要条件；
②过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y-1=0；
③若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（2x）与y=

1

2

g（x）的图象也关于直线y=x对称；
④若直线xsinα+ycosα+1=0和直线xcosα-

1

2

y-1=0垂直，则角α=kπ+或α=2kπ+

π

6

（k∈Z）．
其中正确命题的序号为

 

．（把你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：①a²+a≠0⇒a≠或-1，反过来不成立；由直线在坐标轴上的截距定义，可得②是假命题；根据函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，可得③是真命题；根据两条直线垂直的充要条件，结合三角函数图象与性质，可得④是假命题．

解答： 解：对于①a²+a≠0⇒a≠0且-1，反过来不成立，∴p是q的充分不必要条件；
对于②，过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程除了x+y-1=0还有y=-2x，故②不正确；
对于③，由题意，（a，b）满足y=f（x），则（b，a）满足y=g（x），∴（

a

2

，b）满足y=f（x），则（b，

a

2

）满足y=g（x），
∴函数y=f（2x）与y=

1

2

g（x）的图象也关于直线y=x对称，正确；
对于④，直线xsinα+ycosα+1=0和直线xcosα-

1

2

y-1=0垂直，则sinαcosα-

1

2

cosα=0，可得sinα=

1

2

或cosα=0，所以α=2kπ+

π

6

或α=2kπ+

5π

6

或α=kπ+

π

2

（k∈Z），由此可得④不正确；
故答案为：①③

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了充分不必要条件、两条直线位置关系和简单的三角方程等知识，属于中档题．