Question

如图，过圆O的直径AC的端点A作直线AB、AD分别交圆O于另一点B和点D，过点D作DE⊥AB于E，已知∠EAD=∠CAD．
（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；
（Ⅱ）若DE=6，AE=3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：圆的切线的判定定理的证明,与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（Ⅰ）连结OD，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA．由此能推导出DE⊥OD．从而证明DE是圆O的切线．
（Ⅱ）因为DE是圆O的切线，所以DE²=EA•EB，因为OD∥AB，所以O到AB的距离等于D到AB的距离，由此能求出△ABC的面积．

解答： （Ⅰ）证明：连结OD，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA．
因为∠EAD=∠OAD，所以∠EAD=∠ODA．
因为∠EAD+∠EDA=90°，∠EAD+∠ODA=90°，即DE⊥OD．
所以DE是圆O的切线．（5分）
（Ⅱ）解：因为DE是圆O的切线，所以DE²=EA•EB，
即6²=3（3+AB），所以AB=9．
因为OD∥AB，
所以O到AB的距离等于D到AB的距离，即为6，
又因为O为AC的中点，C到AB的距离等于12
故△ABC的面积S=

1

2

AB•AC=54S=

1

2

AB•BC=54．（10分）

点评：本题考查直线与圆的切线的证明，考查三角形的面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．