Question

已知函数f（x）=

x

x+1

，若数列{a_n}（n∈N^*）满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（Ⅰ）证明数列{

1

an

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足：c_n=

2n

an

，求数列{c_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性,等差关系的确定

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）f（x）=

x

x+1

⇒a_n+1=f（a_n）=

an

an+1

=

1

1 an +1

，于是可得

1

an+1

-

1

an

=1，又a₁=1，从而可证数列{

1

an

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c_n=

2n

an

=

2n

1 n

=n•2ⁿ，利用错位相减法即可求得数列{c_n}的前n项的和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

x

x+1

，
∴a_n+1=f（a_n）=

an

an+1

=

1

1 an +1

． 
∴

1

an+1

-

1

an

=1，又a₁=1，
∴数列{

1

an

}是首项为1，1为公差的等差数列，
∴a_n=

1

n

．
（Ⅱ）∵c_n=

2n

an

=

2n

1 n

=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
②-①得：
S_n=-2-2²-2³-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
=-

2(1-2n)

1-2

+n•2ⁿ⁺¹
=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定与错位相减法求和，判定数列{

1

an

}是等差数列是关键，也是难点，考查转化与运算能力，属于中档题．