Question

(本小题满分14分)已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点P是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AP，BP与直线分别交于M，N两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求线段MN的长度的最小值；

(3)当线段MN的长度最小时，Q点在椭圆上运动，记△BPQ的面积为S，当S在上变化时，讨论S的大小与Q点的个数之间的关系.

Answer 1

解：

(1)由已知得椭圆C的左顶点为，上顶点为D(0，2)，∴，故椭圆C的方程为.  ·····2分                                    

(2)直线的斜率显然存在，且，故可设直线AP的方程为，从而

，设，则，∴直线的方程为：，

得

∴

当且仅当即时等号成立

∴时，线段MN的长度取最小值3.                     ·················8分

(3)由(2)知，当线段MN的长度取最小值时，，此时直线BP的方程为

设与BP平行的直线

联立得

由△＝得

当时，BP与的距离为，此时S_△BPQ＝

当时，BP与的距离为，此时S_△BPQ＝

∴当时，这样的Q点有4个

当时，这样的Q点有3个

当时，这样的Q点有2个

当时，这样的Q点有1个

当时，这样的Q点不存在