Question

16．若双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$与渐近线在第一象限交点为M，且点M到原点的距离为2．（1）求双曲线的标准方程．
（2）设双曲线的左、右焦点分别为F₁，F₂，经过点M、F₁的直线与双曲线在第一象限相交于点A，则△AF₁F₂面积．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和渐近线方程求得交点M，由两点的距离公式可得a=2，c=4，求得b，进而得到双曲线的方程；
（2）由M，F₁的坐标可得直线为y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$（x+4），代入双曲线的方程，求得交点A，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=2，
将直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，代入渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，可得交点M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由题意可得|MO|=$\sqrt{\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}+\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}}$=2，由c²=a²+b²，可得a=2，c=4，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）经过点M（1，$\sqrt{3}$），F₁（-4，0）的直线为y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$（x+4），
代入双曲线的方程3x²-y²=12，
可得6x²-2x-29=0，
解得x=$\frac{1-5\sqrt{7}}{6}$（舍去）或x=$\frac{1+5\sqrt{7}}{6}$，
即有A（$\frac{1+5\sqrt{7}}{6}$，$\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{21}}{6}$），
可得△AF₁F₂面积为$\frac{1}{2}$•8•$\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{21}}{6}$=$\frac{10\sqrt{3}+2\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和渐近线方程，考查三角形的面积的求法，注意运用直线方程和双曲线方程联立，求交点，考查运算能力，属于中档题．