题目内容
3．已知△ABC中，b=6，且sinA：sinB：sinC=5：6：3，则$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{AB}$的值为-31．分析 利用正弦定理求出三角形各边，使用余弦定理求出各角的余弦，根据向量的数量积定义计算．
解答 解：△ABC中，∵sinA：sinB：sinC=5：6：3，
∴a：b：c=5：6：3．∵b=6，∴a=5，c=3．
由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{3}$．cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{15}$，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{13}{15}$．
∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{AB}$=accos（π-B）+abcos（π-C）+bccos（π-A）
=-accosB-abcosC-bccosA=5×$3×\frac{1}{15}$-5×$6×\frac{13}{15}$-6×3×$\frac{1}{3}$=-31．
故答案为：-31．
点评 本题考查了正余弦定理解三角形，平面向量的数量积运算，属于中档题．
练习册系列答案
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13．已知数列{an}的首项a1=a，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn-1=3n2+2n+4（n≥2），若对任意的n∈N*，an＜an+1恒成立，则a的取值范围是（ ）
| A． | （$\frac{23}{4}$，$\frac{29}{4}$） | B． | （$\frac{20}{3}$，$\frac{29}{4}$） | C． | （$\frac{23}{4}$，$\frac{20}{3}$） | D． | （-∞，$\frac{20}{3}$） |
14．下列命题中是全称命题且为真命题的序号为①③．
①圆有内接正方形，②$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，③指数函数都是单调函数，④常数列都是等比数列，⑤两个正数的算术平均数大于它们的几何平均数．
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11．已知AB为圆C的弦，C为圆心，且|$\overrightarrow{AB}$|=2，则$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=（ ）
| A． | -2 | B． | 2 | C． | $\sqrt{3}$ | D． | -$\sqrt{3}$ |
如图，在同一平面内，∠AOB=150°，∠AOC=120°，|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=3，|$\overrightarrow{OC}$|=4．