Question

【题目】已知函数.

（1）若，求出函数的单调区间及最大值；

（2）若且，求函数在上的最大值的表达式.

Answer 1

【答案】（1）增区间为，减区间为；最大值为；（2）分类讨论，详见解析.

【解析】

（1）先求解导数，判断单调性，然后可得最值；

（2）先求解导数，分类讨论或，结合导数在区间上的符号，及根的大小关系，进行分类求解.

（1）由已知，时，，

故，

由得，所以的增区间为递增；

由得，所以的减区间为在；

所以.

（2），

，即时，所以在递增，在递减，

下面比较与大小：

①当，即或时，

，

②当，即或时，

.

，即时，由可得，，

下面比较，大小：

①当，即时，在递增，在递减，在递增，

又，故，

由知，

，

故；

②当，即时，在递增，在递减，在递增，

则，

而（利用重要不等式）

又，知，故，

所以；

③当，即时，，即在单调递增，

；

综上所述，

当时，；

当时，；

当时，.