Question

【题目】设函数.

（1）讨论函数的极值；

（2）若为整数，，且，不等式成立，求整数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）求出函数的导数，分为和两种情形，结合极值的定义即可得结论；

（2）原不等式等价于，令，根据导数和函数的最值的关系即可求出的最值.

（1）由题意可得的定义域为，

当时，恒成立，

∴在上单调递减，无极值，

当时，令，解得，

当时， 单调递减，

当时，，单调递增，

∴在处取得极大值，且极大值为，无极小值，

综上所述，当时，无极值，

当时，极大值为，无极小值.

（2）把代入可得，

∵，则

∴，

∴

令，

∴，

由（1）可知，当时，在上单调递减，

故函数在上单调递增，而

∴在上存在唯一的零点且

故在上也存在唯一的零点且为

当时，，当时，，

∴

由，可得，

∴，∴，

由(*)式等价于，

∴整数的最大值为2.