Question

【题目】从抛物线C：（）外一点作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点在抛物线C上，且（F为抛物线的焦点）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）①求证：四边形是平行四边形.

②四边形能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②能，.

【解析】

（1）根据抛物线的定义，求出，即可求抛物线C的方程；

（2）①设，，写出切线的方程，解方程组求出点的坐标. 设点，直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理得到点的坐标，写出点的坐标，，可得线段相互平分，即证四边形是平行四边形；②若四边形为矩形，则，求出，即得点Q的坐标.

（1）因为，所以，即抛物线C的方程是.

（2）①证明：由得，.设，，

则直线PA的方程为（ⅰ），

则直线PB的方程为（ⅱ），

由（ⅰ）和（ⅱ）解得：，，所以.

设点，则直线AB的方程为.

由得，则，，

所以，所以线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分.

在①中，令解得，所以，同理得，所以线段CD的中点坐标为，即，又因为直线PQ的方程为，所以线段CD的中点在直线PQ上，即线段CD被线段PQ平分.

因此，四边形是平行四边形.

②由①知，四边形是平行四边形.

若四边形是矩形，则，即

，

解得，故当点Q为，即为抛物线的焦点时，四边形是矩形.