Question

【题目】在等比数列中，已知，.设数列的前n项和为，且，（，）.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：数列是等差数列；

（3）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设

【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得数列的递推公式，即可知结果为常数，即得证；（3）由（2）可得数列的通项公式，，设出等差数列，再根据不等关系来算出的首项和公差即可.

（1）设等比数列的公比为q，因为，，所以，解得.

所以数列的通项公式为：.

（2）由（1）得，当，时，可得①，

②

②①得，，

则有，即，，.

因为，由①得，，所以，

所以，.

所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.

（3）由（2）得，所以，.

假设存在等差数列，其通项，

使得对任意，都有，

即对任意，都有.③

首先证明满足③的.若不然，，则，或.

（i）若，则当，时，，

这与矛盾.

（ii）若，则当，时，.

而，，所以.

故，这与矛盾.所以.

其次证明：当时，.

因为，所以在上单调递增，

所以，当时，.

所以当，时，.

再次证明.

（iii）若时，则当，，，，这与③矛盾.

（iv）若时，同（i）可得矛盾.所以.

当时，因为，，

所以对任意，都有.所以，.

综上，存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设.