Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线交曲线于两点，为中点.

（1）求曲线的直角坐标方程和点的轨迹的极坐标方程；

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或

【解析】

（1）根据曲线的参数方程消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再由，，可得点的轨迹的极坐标方程；

（2）将曲线极坐标方程求，与直线极坐标方程联立，消去，得到关于的二次方程，由的几何意义可求出，而（1）可知，然后列方程可求出的值.

（1）曲线的直角坐标方程为，

圆的圆心为，设，所以，

则由，即为点轨迹的极坐标方程.

（2）曲线的极坐标方程为，

将与曲线的极坐标方程联立得，，

设，

所以，

，

由，即，

令，上述方程可化为，解得.

由，所以，即或.