Question

f（x）=

1，x≥2 -1，x＜2

，则不等式x²-f（x）+x-2≤0的解集是

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据分段函数f（x），讨论x≥2与x＜2时，不等式x²-f（x）+x-2≤0的解集情况，求出对应的解集即可．

解答： 解：∵f（x）=

1，x≥2 -1，x＜2

，
∴当x≥2时，不等式x²-f（x）+x-2≤0化为
x²-1+x-2≤0，
即x²+x-3≤0，
解得-

1+ 13

2

≤x≤

13 -1

2

，
又

13 -1

2

＜2，此时不等式的解不满足条件；
当x＜2时，不等式x²-f（x）+x-2≤0化为
x²+1+x-2≤0，
即x²+x-1≤0，
解得-

1+ 5

2

≤x≤

5 -1

2

，
又

5 -1

2

＜2，
∴此时不等式的解满足条件；
综上，原不等式的解集是{x|-

1+ 5

2

≤x≤

5 -1

2

}．
故答案为：{x|-

1+ 5

2

≤x≤

5 -1

2

}．

点评：本题考查了分段函数的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．