Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期为π，且图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2）
（Ⅰ）求f（x）的解析式
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2），可得A，由周期T=π，可得ω，由点M（

2π

3

，-2）在图象上，得2sin（2×

2π

3

+φ）=-2，
又0＜φ＜

π

2

，可解得φ，从而可求f（x）的解析式．
（Ⅱ）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）可解得f（x）的单调增区间．

解答： （本题满分为9分）
解：（Ⅰ）由图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2），可得A=2…1分
由周期T=π，可得ω=

2π

T

=

2π

π

=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）…2分
由点M（

2π

3

，-2）在图象上，得2sin（2×

2π

3

+φ）=-2，
即有sin（

4π

3

+φ）=-1，…3分
∴

4π

3

+φ=-

π

2

+2kπ（k∈Z），
∴φ=-

11π

6

+2kπ（k∈Z），…4分
∵0＜φ＜

π

2

∴k=1，φ=

π

6

，
∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+

π

6

）…5分
（Ⅱ）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）可解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
可得f（x）的单调增区间为：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）…9分

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．