Question

9．设对于任意实数x，不等式|x+7|≥m-1恒成立，且m的最大值为p．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且a+b+c=p，求证：${a^2}+{b^2}+{c^2}≥\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求得m-1≤0，可得m的最大值为p的值．
（Ⅱ）由题意利用基本不等式，证得结论．

解答 解：（I）因为不等式|x+7|≥m-1恒成立，∴m-1≤0，∴m的最大值为p=1．
（II）∵a，b，c∈R，a+b+c=p=1，∴a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
相加可得2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ac），∴3（a²+b²+c²）≥a²+b²+c²+2（ab+bc+ac），
∴3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=1，∴${a^2}+{b^2}+{c^2}≥\frac{1}{3}$，当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时，等号成立．

点评 本题主要考查函数的恒成立问题，求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．