Question

已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中α，β∈R，且α-2β=1．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线

x2

a2

-y²=13，（a＞0）交于两点M，N，且OM⊥ON，求该双曲线的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由向量等式，得点C的坐标，消去参数即得点C的轨迹方程；
（2）联立直线方程和双曲线方程，化为关于x的一元二次方程利用根与系数关系得到M，N两点的横纵坐标的积，把OM⊥ON转化为向量数量积求得a²，则双曲线方程可求．

解答： 解：（1）设C（x，y），A（1，0），B（0，-2），由

OC

=α

OA

+β

OB

，得
（x，y）=α（1，0）+β（0，-2），
∴

x=α y=-2β

，即点C的轨迹方程为x+y=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立

x+y=1 x2 a2 -y2=13

，得（1-a²）x²+2a²x-14a²=0．
x1+x2=

2a2

a2-1

，x1x2=

14a2

a2-1

，
y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-

2a2

a2-1

+

14a2

a2-1

=

a2-1-2a2+14a2

a2-1

=

13a2-1

a2-1

．
∵OM⊥ON，
∴x1x2+y1y2=

14a2

a2-1

+

13a2-1

a2-1

=

27a2-1

a2-1

=0．
即27a²-1=0，
∴a2=

1

27

．
∴双曲线的方程27x²-y²=13．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程与圆锥曲线方程，借助于根与系数关系求解，是中档题．