题目内容
已知a，b，c均为正数
（1）证明：a2+b2+c2+（
+
+
）2≥6
，并确定a，b，c如何取值时等号成立；
（2）若a+b+c=1，求
+
+
的最大值．
（1）证明：a2+b2+c2+（
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 3 |
（2）若a+b+c=1，求
| 3a+1 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
考点：一般形式的柯西不等式,不等式的证明
专题：选作题,不等式的解法及应用
分析：（1）利用基本不等式可以证明结论；
（2）利用柯西不等式可求
+
+
的最大值．
（2）利用柯西不等式可求
| 3a+1 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
解答：
（1）证明：a2+b2+c2+（
+
+
）2≥3(abc)
+9(abc)-
≥6
取等条件a=b=c=
；
（2）解：（
+
+
）2≤（1+1+1）[（
）2+（
）2+（
）]2=18
所以
+
+
的最大值为3
，取等条件a=b=c=
．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
取等条件a=b=c=
| 4 | 3 |
（2）解：（
| 3a+1 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
| 3a+1 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
所以
| 3a+1 |
| 3b+1 |
| 3c+1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题主要考查了柯西不等式的内容与形式，掌握根据柯西不等式的内容是关键．
练习册系列答案
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已知正△ABC的边长为3，P1是边AB上的一点且BP1=1，从P1向BC作垂线，垂足为Q1，从Q1向CA作垂线，垂足为R1，从R1向AB作垂线，垂足为P2．再从P2重复同样作法，依次得到点Q2，R2，P3，Q3，R3，…Pn，Qn，Rn，…，设BPn=an（n=1，2，3，…）．