Question

8．如图，△ABC内接于⊙O，AB为其直径，CH⊥AB于H延长后交⊙O于D，连接DB并延长交过C点的直线于P，且CB平分∠DCP．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AC=4，BC=3，求$\frac{PC}{PB}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证明∠CAB=∠DCB，且∠CAO=∠ACO，利用CB平分∠DCP，∠DCB=∠PCB，可得OC⊥CP，即可证明PC是⊙O的切线；
（2）证明△PCD～△PBC，利用相似比，可求$\frac{PC}{PB}$的值．

解答 （1）证明：连接OC，
由已知AB为⊙O的直径，CH⊥AB，则∠CAB=∠DCB，且∠CAO=∠ACO…（2分）
又CB平分∠DCP，∠DCB=∠PCB，因而$∠PCB+∠OCB=∠ACO+∠OCB=\frac{π}{2}$，
即OC⊥CP，所以PC是⊙O的切线…（5分）
（2）解：AC=4，BC=3，则AB=5，CH=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，CD=$\frac{24}{5}$，BD=BC=3，
因为PC是⊙O的切线，所以∠PCB=∠PDC，
所以△PCD～△PBC，…（8分）
所以$\frac{PC}{PB}=\frac{PD}{PC}=\frac{CD}{BC}=\frac{8}{5}$，…（10分）

点评 本题考查圆的切线的证明，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．