题目内容
9．
语文成绩服从正态分布N（100，17.52），数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？
（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望．
（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
①若x～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜x≤μ+σ）=0.68，P（μ-2σ＜x≤μ+2σ）=0.96．
②k2=$\frac{n（ad-bc）^2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；
③
| P（k2≥k0） | 0.50 | 0.40 | … | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 0.455 | 0.708 | … | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
分析 （1）先求出语文成绩特别优秀的概率和数学成绩特别优秀的概率，由此能求出语文和数学两科都特别优秀的人的个数．
（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
（3）列出2×2列联表，求出k2，与临界值比较，即可得出结论．
解答 解：（1）∵语文成绩服从正态分布N（100，17.52），
∴语文成绩特别优秀的概率为p1=P（X≥135）=（1-0.96）×$\frac{1}{2}$=0.02，
数学成绩特别优秀的概率为p2=0.0016×20×$\frac{3}{4}$=0.024，
∴语文特别优秀的同学有500×0.02=10人，
数学特别优秀的同学有500×0.024=12人．
（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{10}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{27}{56}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{10}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{1}{28}$，
∴X的分布列为：
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{3}{14}$ | $\frac{27}{56}$ | $\frac{15}{56}$ | $\frac{1}{28}$ |
（3）2×2列联表：
| 语文特别优秀 | 语文不特别优秀 | 合计 | |
| 数学特别优秀 | 6 | 6 | 12 |
| 数学不特别优秀 | 4 | 484 | 488 |
| 合计 | 10 | 490 | 500 |
∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
点评 本题考查正态分布的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
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