Question

14．已知集合A，B，C分别为A=[-1，a]，B={y|y=3x-2，x∈A}，C={z|z=x²，x∈A}，C⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出B=[-5，3a-2]，然后求函数z=x²在[-1，a]上的值域，需讨论a：-1＜a≤0，0＜a＜1，a≥1，求出每种情况下的z=x²的值域，即求出C，再根据C⊆B从而确定出a的取值范围．

解答 解：y=3x-2，x∈[-1，a]；
∴y∈[-5，3a-2]；
∴B=[-5，3a-2]；
z=x²，x∈[-1，a]；
①若-1＜a≤0，则z∈[a²，1]，即C=[a²，1]；
∵3a-2＜0，∴不满足C⊆B，即这种情况不存在；
②若0＜a＜1，则z∈[0，1]，即C=[0，1]；
∵3a-2＜1，不满足C⊆B；
③若a≥1，则z∈[0，a²]，即C=[0，a²]；
∵C⊆B；
∴a²≤3a-2；
解得1≤a≤2；
∴综上得实数a的取值范围为[1，2]．

点评 考查描述法表示集合，一次函数的单调性，根据二次函数的单调性或端点与顶点处的函数值求二次函数的值域，以及子集的定义．