Question

如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A．
（1）求实数b的值；
（2）已知圆P经过A点且始终与抛物线C的准线相切，求圆P的圆心的轨迹方程，并说明其是什么曲线？．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线与抛物线方程联立化为x²-4x-4b=0．由于直线l与抛物线相切，令△=0，即可解得．
（2）由于圆P经过A点且始终与抛物线C的准线相切，可得|PA|=|y+1|，利用两点之间的距离公式即可得出．

解答： 解：（1）由

y=x+b x2=4y

，得x²-4x-4b=0．
∵直线l与抛物线相切，
∴△=（-4）2-4×（-4b）=0，解得b=-1．
（2）由（1）已知A的坐标为（2，1），
设P（x，y）．
∵圆P经过A点且始终与抛物线C的准线相切，
∴|PA|=|y+1|
∴

(x-2)2+(y-1)2

=|y+1|
∴圆心轨迹（x-2）²=4y是抛物线．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线的位置关系、圆的方程、两点之间的距离公式，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．