Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=k（x+2

2

）和点A（-

2

，0），B（

2

，0），动点P满足PA=

2

PB，且存在两点P到直线l的距离等于1，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：设点P（x，y），则由题意可得(x-3

2

)2+y2=16，表示以（3

2

，0）为圆心，半径等于4的圆．要在圆(x-3

2

)2+y2=16上存在两点到直线l的距离等于1，则需圆心(3

2

，0)到直线l的距离d∈（3，5），即3＜

|5 2 k|

k2+1

＜5，由此求得k的范围．

解答： 解：设点P（x，y），则由题意可得 (x+

2

)2+y2=2[(x-

2

)2+y2]，即(x-3

2

)2+y2=16，表示以（3

2

，0）为圆心，半径等于4的圆．
要在圆(x-3

2

)2+y2=16上存在两点到直线l的距离等于1，
则需圆心(3

2

，0)到直线l的距离d∈（3，5），即3＜

|5 2 k|

k2+1

＜5，
解得-1＜k＜-

3 41

41

或

3 41

41

＜k＜1，
故答案为：（-1，-

3 41

41

）∪（

3 41

41

，1）．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，判断圆心(3

2

，0)到直线l的距离d∈（3，5），是解题的关键，属于中档题．