Question

7．已知数列{a_n}，a₁=3，a_n+1=-2a_n-3n-1．
（1）求证：数列{a_n+n}为等比数列；       
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系结合等比数列的定义进行证明即可，
（2）根据等比数列的通项公式进行求解，
（3）根据分组求和法结合等比数列和等差数列的前n项和公式进行计算即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=-2a_n-3n-1．
∴n+1+a_n+1=-2a_n-3n-1+n+1═-2a_n-2n=-2（a_n+1）．
则$\frac{{a}_{n+1}+n+1}{{a}_{n}+n}$=-2，
则数列{a_n+n}为等比数列，公比q=-2；       
（2）由（1）得数列{a_n+n}为等比数列，公比q=-2，首项为a₁+1=3+1=4，
则a_n+n=4•（-2）^n-1，
即a_n=4•（-2）^n-1-n，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=4•（-2）^n-1-n；
（3）数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{4•[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$-（1+2+…+n）=$\frac{4}{3}$-$\frac{4}{3}$•（-2）ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题主要考查等比数列的证明以及数列通项公式以及求和公式的应用，利用分组求和法是解决本题的关键．