Question

已知函数f(x)＝ax³＋|x－a|，aR．

（1）若a＝－1，求函数y＝f(x) (x[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程；

（2）若g(x)＝x⁴，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数；

（3）当a＞0时，若对于任意的x₁[a，a＋2]，都存在x₂[a＋2，＋∞)，使得f(x₁)f(x₂)＝1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．

Answer 1

解：（1）当a＝－1，x[0，＋∞)时，f(x)＝－x³＋x＋1，从而f ′(x)＝－3x²＋1．

当x＝1时，f(1)＝1，f ′(1)＝－2，

所以函数y＝f(x) (x[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝－2(x－1)，

即2x＋y－3＝0．                   

（2）f(x)＝g(x)即为ax³＋|x－a|＝x⁴．

所以x⁴－ax³＝|x－a|，从而x³(x－a)＝|x－a|．

此方程等价于x＝a或

所以当a≥1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1；

当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1；

当a≤－1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1．     

（3）当a＞0，x(a，＋∞)时，f(x)＝ax³＋x－a，f ′(x)＝3ax²＋1＞0，

所以函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数，且f(x)＞f(a)＝a⁴＞0．

所以当x[a，a＋2]时，f(x)[f(a)，f(a＋2)]，

当x[a＋2，＋∞)时，f(x)[ f(a＋2)，＋∞)．

因为对任意的x₁[a，a＋2]，都存在x₂[a＋2，＋∞)，使得f(x₁)f(x₂)＝1024，

所以[，[ f(a＋2)，＋∞)．     

从而≥f(a＋2)．

所以f ²(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)³＋2≤32．

因为a＞0，显然a＝1满足，而a≥2时，均不满足．

所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}．